Асимптотические методы в нелинейных задачах математической физики
Лекторы
Курс лекций состоит из двух разделов. Первый посвящен методам асимптотическим методам в сингулярно возмущенных задачах с пограничными и внутренними слоями. Наряду с классическими результатами, включающими теорему Тихонова о предельном переходе, метод пограничных функций А.Б. Васильевой, теоремы Чаплыгина и Нагумо, метод Вишика – Люстерника и другие результаты излагаются современные достижения теории сингулярных возмущений в исследовании контрастных структур, а также применения в прикладных задачах.
Второй раздел посвящен исследованию сингулярно возмущенных задач на основе метода осреднения. В нем приводятся теоремы Н.Н. Боголюбова, излагаются алгоритмы построения асимптотического решения системы в стандартной форме, системы с быстрой фазой, системы с несколькими быстрыми фазами, для которых исследуется поведение решения вблизи резонанса.
Отчётность
экзамен
Содержание курса
- Методы исследования решений с внутренними и пограничными слоями. Основные понятия. Регулярные и сингулярные возмущения. Асимптотическое приближение по параметру. Сходящиеся и асимптотические ряды. Формальная асимптотика – асимптотика по невязке.
- Сингулярно возмущенные начальные задачи для ОДУ. Теорема Тихонова. Метод пограничных функций. Теорема Чаплыгина и асимптотический метод дифференциальных неравенств.
- Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости. Сингулярно возмущенные задачи в критическом случае. Применение асимптотических методов в задачах химической кинетики..
- Сингулярно возмущенные краевые задачи для ОДУ. Краевые задачи Неймана и Дирихле. Теоремы Нагумо и асимптотический метод дифференциальных неравенств
- Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с частными производными. Метод Вишика – Люстерника. Метод угловых пограничных функций.
- Асимптотическая теория контрастных структур. Построение асимптотических приближений решений с внутренними и пограничными слоями – контрастных структур для ОДУ и уравнений с частными производными
- Доказательство существования и вопросы устойчивости контрастных структур.
- Метод осреднения. Системы в стандартной форме по Н.Н. Боголюбову. Редукция квазилинейного уравнения колебаний к системе в стандартной форме. Стационарные амплитуды и их устойчивость. Алгоритм построения асимптотического решения. Определение коэффициентов. Способы вычисления средних значений. Определение коэффициентов. Способы вычисления средних значений..
- Первая теорема Н.Н. Боголюбова. Стационарные амплитуды и автоколебательные режимы. Исследование устойчивости автоколебательных режимов. Формулировка второй теоремы Н.Н. Боголюбова. Системы с медленным временем и редукция таких систем к системе с быстрой фазой.
- Системы с быстрой фазой. Редукция квазилинейного уравнения колебаний к системе с быстрой фазой. Алгоритм построения асимптотического решения. Определение коэффициентов. Результаты теорем о первом и втором приближениях для системы с быстрой фазой. Стационарные амплитуды и автоколебательные режимы. Системы с несколькими быстрыми фазами. Резонанс. Редукция квазилинейного уравнения колебаний с периодическим внешним воздействием к системе с двумя быстрыми фазами. Нерезонансный случай. Понятие резонанса. Поведение средних вблизи резонанса. Малые знаменатели. Фазовая расстройка. Стационарные резонансные режимы и их устойчивость.
Дополнительная литература
- А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. Асимптотические методы в теоpии сингуляpных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
- А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундамент. и прикл. матем. 1998. Т. 4. С. 799.
- Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
- В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.
- В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.
- А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. (Некоторые разделы курса лекций «Дифференциальные уравнения»). Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2007.
- А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи. Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2006.