13 апреля 2016 г. Доклад. М. Д. Малых: «Об интегрировании дифференциальных уравнений в системах компьютерной алгебры»

Доклад состоится в 17:00 в ауд. 4-46.

(Факультет наук о материалах МГУ. Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей РУДН.)

При математическом моделировании физических явлений часто остается довольно широкий произвол в виде уравнений и значениях входящих в них параметров и часто при удачном их выборе системы компьютерной алгебры позволяют отыскать аналитическое решение или хотя бы какой-нибудь закон сохранения. В деле выбора уравнений и параметров, однако, приходится уповать на удачу: солверы современных систем компьютерной алгебры решают частные дифференциальные уравнения в символьном виде, но не дают советы относительно того, как неразрешенные уравнения следует поправить. Более того, в каждом конкретном случае более-менее понятно, почему то или иное выражение считается аналитическим решением дифференциального уравнения, однако совершенно не ясно, что означает неспособность того или иного пакета отыскать аналитическое решение.

С этих позиций в докладе будут рассмотрены:

•  алгоритмы, лежащие в основе популярных символьного интегрирования дифференциальных уравнений, от первого интегратора, написанного Дж. Мозеса в 1962 г., до «Абака» Э. Чеб-Терраба (2000-е годы), позволившего Maple решать большинство уравнений из справочника Камке;
• две классические задачи об интегрировании дифференциальных уравнений в алгебраических функциях и в квадратурах, и частичные реализации их решения в Maple и Sage [Авеллар, 2013], [Бостан, 2014], [Малых, 2016];
• двойственная к предыдущей задача об интегрировании дифференциальных уравнений, общее решение которых является алгебраической функцией констант [Умемура, 1990], [Малых, 2014], [Малых, 2016].

Последняя задача дает интересную возможность рассмотреть связь между чистой алгеброй, теорией классических трансцендентных функций и «хорошими» разностными схемами. Будет показано, что для уравнений, общее решение которых является алгебраической функцией констант, можно построить разностные схемы, сочетающие в себе достоинства явных и неявных одношаговых схем, и позволяющие проходить подвижные особые точки без заметного накопления погрешности [Малых, 2015].