РУС/ENG
Кафедра математики
физического факультета МГУ

Уравнения соболевского типа. Нелинейный функциональный анализ

Д.ф.-м.н., проф. М. О. Корпусов и д.ф.-м.н., проф. А. Г. Свешников

Коллектив
О направлении

Научная группа в составе М.О. Корпусова, Л.В. Перовой, А.А. Панина, Е.В. Юшкова и Д.В. Лукьяненко под руководством профессора А.Г. Свешникова занимается разработкой аналитических и численных методов исследования сложных начальных и начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений соболевского типа. С математической точки зрения интерес к исследованию данного класса уравнений обусловлен тем, что, в отличие от классических параболических и гиперболических уравнений, эти уравнения не разрешены относительно старшей производной. В качестве физически интересных примеров уравнений соболевского типа можно привести уравнения волн Россби (волны Россби — это низкочастотные сравнительно крупномасштабные возмущения, возникающие во вращающихся газовых или жидких системах; знаменитое Красное Пятно на Юпитере, по-видимому, можно рассматривать как нерасплывающийся пакет волн Россби) и уравнения волн Бенджамена—Бона—Махони—Бюргерса. Частным случаем уравнений соболевского типа являются так называемые псевдопараболические уравнения; которые возникают при исследовании квазистационарных процессов в полупроводниках, плазме, ферромагнетиках и других средах с сильной временной и пространственной дисперсией. 

 

Работа группы А.Г. Свешникова и М.О. Корпусова посвящена изучению современных проблем нелинейной математической физики. Наибольшие усилия, в настоящее время, направлены на изучение таинственного явления — явления разрушения, явления взрывной неустойчивости. Несмотря на слабую изученность, это явления встречается в большинстве современных задач нелинейной физики, химии и биологии, и связано оно с неограниченным ростом решения задач на конечном интервале времени. Взрыв в плазме, формирование ударной волны, пробой полупроводников — все это примеры явления разрушения. У группы есть задачи разного уровня сложности, относящиеся к разным областям физики.

Достижения

За последние 10 лет группе удалось значительно продвинуться в исследовании сильно нелинейных уравнений соболевского типа, в частности, псевдопараболических уравнений. Так, докторская диссертация М.О. Корпусова (2005 г.) посвящена исследованию локальной (по времени) разрешимости начально-краевых задач для сильно нелинейных псевдопараболических уравнений. Удалось доказать сильнообобщённую и слабообобщённую локальную (по времени) разрешимость широкого класса начально-краевых задач. Кроме того, удалось получить достаточные условия разрушения решений этих задач за конечное время. Полученные результаты позволяют указать достаточные условия возникновения электрического пробоя в полупроводниках. Для одного класса начально-краевых задач для сильно нелинейных псевдопараболических уравнений получены необходимые и достаточные условия разрушения решений за конечное время. Кроме того, получены двусторонние оценки времени разрушения решений этих задач.

 

Все полученные аналитические и численные результаты опубликованы в следующих монографиях:

1. Калиткин Н. Н., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2005. - 224 с.

2. Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2006. - 735 с.

3. Al'shin  A. B., Korpusov M. O., Sveshnikov A. G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, Series in nonlinear analisys and applications, 15, De Gruyter, 2011, 648 p.

4. Korpusov M.O., Ovchinnikov A.V. Blow-Up of Solutions of Model Nonlinear Equations of Mathematical Physics. URSS, 2013.

5. Корпусов М.О., Свешников А.Г., Юшков Е.В. Методы теории разрушения решений нелинейных уравнений математической физики. М.: физический факультет МГУ, 2014.  ISBN 978-5-8279-0121-1, 364 с. 

Темы

Для студентов у нас есть интересные нелинейные эволюционные неклассические задачи; при исследовании которых студент может ознакомиться с современными методами нелинейного функционального анализа, а также с современными численными методами исследования нелинейных уравнений в частных производных. Более того, у нас имеются серьёзные задачи, соответствующие кандидатским и докторским диссертациям по специальностям дифференциальные уравнения (01-01-02) или математическая физика (01-01-03).

 

Пример задачи для студента 2 курса