РУС
/
ENG
Department of Mathematics,
Faculty of Physics, MSU
Main
Advertisements
About department
Education
Staff
Research work
Conferences
For entrants
Contacts
Archive
Enter
Current common courses
Differential equations
Integral Equations and calculus of variations
Introduction to Numerical Methods and Mathematical Modeling in Physics
Linear algebra
Mathematical analysis 2
Numerical methods in physics
Principles of Mathematical Modeling
Special courses
Abstract differential equations with applications in mathematical physics
Asymptotic averaging method for problems of mathematical physics
Asymptotic methods in nonlinear problems of mathematical physics
Asymptotic methods in the theory of differential equations with rapidly oscillating solutions
Catastrophe theory and its applications in physics
Category Theory Basics
Differential inequality method in nonlinear problems
Elliptic equations
Extremal problems
Finite element method in problems of mathematical physics
Functional analysis
Fundamentals of algebra and differential geometry
Gas dynamics and cosmic magnetic fields
Group analysis of differential equations
Introduction to perturbation theory
Linear and nonlinear functional analysis
Mathematical methods in ecology
Mathematical modeling of plasma – kinetic theory
Mathematical modeling of plasma – numerical experiment
Mathematical models of hydrodynamics and gas dynamics
Mathematical problems of diffraction theory
Methods of finite differences in mathematical physics
Modern methods of modeling in magnetohydrodynamics
Nonlinear elliptic and parabolic equations of mathematical physics
Numerical methods in mathematical physics
Parabolic equations
Parallel Computations
Programming of scientific applications in the language C++
Special functions of mathematical physics
Special practical work. Differential schemes
Stochastic differential equations
Supplementary chapters of mathematical physics (nonlinear functional analysis)
Tensor calculus
Theoretical Basics of Big Data Analytics and Real Time Computation Algorithms
Theory of blow-ups of nonlinear equations
Education
Distant education
State exams
Bachelor studies at Faculty of Physics
Bachelor studies at Department of Mathematics
Magistracy
Courses for PhD students
General courses
Analytical Geometry
Differential equations
Current tasks for distance learning (first division)
N. N. Nefedov's lectures videos
Integral Equations and calculus of variations
Introduction to Numerical Methods and Mathematical Modeling in Physics
Linear algebra
Mathematical analysis 1
Mathematical analysis 2
Mathematical Analysis 3
Methods of mathematical physics
Modern problems of physics
Numerical methods in physics
Principles of Mathematical Modeling
The theory of functions of a complex variable
Special courses
Special courses for PhD students
Optional courses
Interfaculty courses
Educational olympiads
All courses
Scientific seminars
Devision seminar
Department seminar
Inverse problems in mathematical physics
Mathematical methods in natural sciences
Seminar named after A.B. Vasil'eva: Asimptotic methods in singularly perturbed problems
N. N. Nefedov's lectures videos
Лекция 1. Введение:
Лекция 1. Введение
Введение. Основные понятия
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Лекция 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение первого интеграла ОДУ и динамической системы
Примеры физических задач, приводящие к дифференциальным уравнениям
Уравнения первого порядка. Простейшие ОДУ, интегрируемые в квадратурах
Уравнения с разделяющимися переменными
Автономные уравнения движения материальной точки на прямой
Линейное уравнение (скалярное)
Задача Коши для однородного линейного ДУ
Задача Коши для неоднородного линейного ДУ (метод вариации постоянной)
Лекция 3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Задача Коши для линейного ДУ неоднородного (продолжение)
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для скалярного ОДУ первого порядка
Геометрическая интерпретация
Эквивалентное интегральное уравнение (лемма 1)
Метод последовательный приближений (метод Пикара)
Леммы 2 и 3. Доказательство существования решения задачи Коши
Лемма 4. О единственности решения интегрального уравнения
Лекция 4. Задача Коши для неоднородного ДУ. Теоремы Чаплыгина
Лемма 4. Доказательство единственности решения задачи Коши
Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе
Замечания и примеры
Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств
Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствах
Теорема Чаплыгина о существовании и единственности решения задачи Коши
Лекция 5. Задача Коши для нормальной системы ОДУ. ДУ n-го порядка
Замечания к теоремам Чаплыгина
Пример применения теоремы Чаплыгина
Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров в правой части
Постановка задачи
Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров в правой части
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства)
Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе (без доказательства)
Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров в правой части (без доказательства)
Уравнения n-го порядка. Сведение их к системе уравнений 1-го порядка
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Линейные ОДУ n-го порядка
Лекция 6. Линейные ОДУ n-го порядка. Однородное уравнение
Общие свойства. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
2. Следствия линейности уравнения
Однородное уравнение
Линейная зависимость системы функций. Определитель Вронского
Теорема о линейной зависимости системы функций
Теорема о линейной независимости решений однородного уравнения
Теорема о существовании фундаментальной системы решений (ФСР)
Лекция 7. Линейные ОДУ n-го порядка. Неоднородное уравнение
Теорема о представлении общего решения через ФСР
Неоднородное уравнение. Общее решение неоднородного уравнения
Функция Коши: построение частного решения неоднородного уравнения
Уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение однородного уравнения
Структура ФСР в случае кратных корней характеристического уравнения
Лекция 8. Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Следствия линейности векторного уравнения
Однородная система уравнений. Линейная зависимость системы вектор-функций. Определитель Вронского
Теорема о линейной зависимости системы вектор-функций
Теорема о связи линейной независимости решений однородной системы с определителем Вронского
ФСР. Фундаментальная матрица. Теорема о существовании ФСР
Теорема о представлении общего решения через ФСР
Неоднородная система. Общее решение неоднородной системы
Метод вариации постоянной. Матрица Коши
Лекция 9. Системы с постоянными коэффициентами. Краевые задачи
Системы с постоянными коэффициентами
Структура ФСР в случае простых собственных значений матрицы системы
Структура ФСР в случае кратных собственных значений матрицы системы
Краевые задачи. Линейные задачи. Постановка задачи
Формулы Грина. Тождество Лагранжа
Теорема единственности решения краевой задачи
Лекция 10. Функция Грина и её свойства
Теоремы о достаточных условиях существования только тривиального решения у однородной задачи
Необходимые условия разрешения неоднородной задачи
Функция Грина и ее свойства
Существование функции Грина
Теорема о представлении решения с помощью функции Грина
Единственность функции Грина
Нелинейные задачи
Метод стрельбы
Лекция 11. Теорема Нагумо. Теория устойчивости
Теорема существования решения в случае ограниченной правой части (метод стрельбы)
Понятие нижнего и верхнего решений краевой задачи, теорема Нагумо о существовании решения
Примеры
Теория устойчивости. Постановка задачи. Устойчивость решения по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость
Лекция 12. Устойчивость по Ляпунову. Классификация точек покоя
Первый метод Ляпунова – исследование устойчивости решения по первому приближению
Второй метод Ляпунова – метод функций Ляпунова
Классификация точек покоя системы двух линейных уравнений первого порядка
Лекция 13. Фазовая плоскость и фазовые траектории. Асимптотические методы
Фазовая плоскость для нелинейных автономных уравнений второго порядка. Постановка задачи
Система первого приближения
Фазовая плоскость
Уравнение с квадратичной нелинейностью
Асимптотические методы. Понятие регулярно и сингулярно возмущенных задач
Регулярные возмущения
Лекция 14. Регулярные и сингулярные возмущения. ДУ в частных производных
Продолжение. Регулярные возмущения
Сингулярные возмущения. Теорема Тихонова
Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Линейные однородные уравнения
Квазилинейные уравнения
