Основы математического моделирования в гидро- и газодинамике

• Давыдова Марина Александровна , доцент

1.    Введение.

Математическое моделирование (как метод познания окружающего мира): цели и этапы математического моделирования. Понятие математической модели и модель сплошной среды. Способы описания сплошных сред. Переменные Эйлера и Лагранжа. Основные уравнения: общее уравнение движения жидкого объема, уравнение неразрывности.

2.    Математические модели идеальных сред.

Понятие идеальной жидкости. Уравнение Эйлера. Модели идеальных несжимаемых, баротропных и бароклинных сред. Постановка внутренних и внешних начально-краевых задач гидродинамики идеальных сред. Условия на твердой непроницаемой и свободной поверхности.

3.    Математические модели вязких сред.

Понятие вязкой жидкости. Закон Навье-Стокса. Модели вязких несжимаемых, баротропных и бароклинных сред. Внешние и внутренние задачи гидро- и газоданимаки с учетом вязкости. Условия на твердой непроницаемой поверхности, на поверхности раздела двух сред с различными физическими характеристиками, на свободной поверхности.

4.    Примеры модельных задач и некоторые аналитические методы исследования.

4.1.  Точные решения уравнений гидродинамики.

Плоские задачи об обтекании тел стационарным потоком идеальной жидкости: плоское потенциальное стационарное течение, функция тока, комплексная скорость и комплексный потенциал, поток вектора скорости и циркуляция скорости, связь комплексной скорости с потоком и циркуляцией скорости. Восстановление гидродинамических характеристик течения по заданному комплексному потенциалу скорости: однородный поступательный поток, источник (сток), вихревая точка, диполь, композиция поступательного потока и течения от диполя. Построение комплексного потенциала течения по заданным гидродинамическим характеристикам: потенциал течения с заданной скоростью и циркуляцией на бесконечности. Задача об обтекании замкнутого контура: бесциркуляционное обтекание кругового цилиндра и обтекание потоком с циркуляцией.  Применение метода конформных отображений для решения плоских задач гидродинамики: обтекание плоских тел произвольной формы. Оценка силы со стороны потока: формулы Чаплыгина и Жуковского. 

Распределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости при ускоренном движении сферы: математическая модель и алгоритм решения начально-краевой задачи.

Моделирование стационарных течений вязкой однородной жидкости в трубах с различными сечениями: течение в трубах с круговым и эллиптическим сечениями, течение в трубе с прямоугольным сечением и в плоском канале с твердыми стенками. Плоскопараллельное течение Пуазейля.

Нестационарное течение вязкой однородной жидкости в трубе с круговым или прямоугольным сечением: математическая модель и алгоритм решения начально-краевой задачи.

Моделирование одномерных нестационарных слоистых течений: тангенциальный разрыв, движение твердой поверхности, течение под действием касательного напряжения (моделирование морских течений под действием ветра постоянной силы).

4.2. Приближенные методы интегрирования уравнений гидродинамики.

Предельные случаи больших и малых чисел Рейнольдса. Линеаризация уравнений гидродинамики в случае малых чисел Рейнольдса: двумерное течение вязкой жидкости между бесконечными пластинами, медленное движение сферы в вязкой среде. Течения, характеризуемые большими числами Рейнольдса и простейшая теория ламинарного пограничного слоя: уравнения Прандтля и автомодельные решения. Примеры модельных задач: обтекание полубесконечной пластины и течение в суживающемся канале.

Метод линеаризации уравнений гидродинамики: звуковые колебания идеального разреженного газа в ограниченной области.

Асимптотические методы в задачах гидродинамики. Акустические колебания в идеальных и слабовязких средах: асимптотическое решение линеаризованных задач о свободных и вынужденных колебаниях газа с малой вязкостью.  Явление резонанса. Асимптотический анализ в задаче моделирования малых колебаний стратифицированной среды с малой вязкостью в приближении Буссинеска. Метод Люстерника-Вишика.

1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В.Теоретическая гидромеханика: учебное пособие. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: ФМГИЗ, 1963.  Часть 1, 2.
2. Ламб Г. Гидродинамика. Т. I / ред. Н.А. Слезкин; пер.: А.В. Гермогенов, В.А. Кудрявцев; Г. Ламб .— Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2003 .— 452 с. — Пер. с 6-го англ. изд. - Репр. изд. (ориг. изд.: М.-Л.: ОГИЗ - Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1947 г.) .— ISBN 5-93972-229-6.
3. Ламб, Г. Гидродинамика. Т. II / ред. Н.А. Слезкин; пер.: А.В. Гермогенов, В.А. Кудрявцев; Г. Ламб .— Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2003 .— 482 с. — Пер. с 6-го англ. изд. - Репр. изд. (ориг. изд.: М.-Л.: ОГИЗ - Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1947 г.) .— ISBN 5-93972-229-6. 
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.Теоретическая физика: Учеб. пособ.: для ВУЗОВ. В 10 т. Т.6. Гидродинамика. — 5-е издание, стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 731 с. —ISBN5-9221-0121-8.
5. В. Я. Шкадов, З. Д. Запрянов. Течения вязкой жидкости: учебное пособие для университетов. –М.: Изд-во МГУ, 1984. - 200 с. 
6. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики»: Учебн. пособие. -7-е изд. - М: URSS, 2026.- 800 с. - (Юбилейная серия «в честь 270-летия МГУ имени М. В. Ломоносова», а также серия «Классический учебник МГУ»). - ISBN 978-5-00237-255-3.
7. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 549 с. —ISBN 978-5-9221-0300-8.
8. М. А. Давыдова.Лекции по гидродинамике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 216 с. —ISBN 978-5-9221-1303-8.
9. М. А. Давыдова. Математические модели гидродинамики. – М.: Физический факультет МГУ, 2011. — 64 с.
10. В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, Е. В. Федотова.Асимптотическое решение линеаризованной задачи о распространении звука в ограниченной среде с малой вязкостью.// Вычисл. матем. и матем. физ. 1987. 27 (2). С. 226-236.
11. В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, Е. В. Полежаева.Асимптотическое решение линеаризованных задач о собственных и вынужденных резонансных колебаниях среды с малой вязкостью. // Вычисл. матем. и матем. физ. 1989. 29 (7). С. 1023-1035.
12. К. А. Велижанина, Е.А. Вожукова, Н. Н. Нефедов.О влиянии вязкости и теплопроводности среды на характеристики цилиндрического резонатора.// Акустический журнал. 1986. 32 (1). С. 114-116.
13. N. Nefedov.On some singularly perturbed problems for viscous stratified fluids. //Journal of mathematical analyses and applications, 1988. 131 (1). Pp. 118-126.

Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:

EqWorld — международный научно-образовательный сайт; содержит учебную физико-математическую библиотеку, включающую литературу по механике жидкости и газа: https://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mechanics/fluid.htm

MechMath — учебно-образовательная физико-математическая библиотека, включающая литературу по механике и прикладной математике: https://mechmath.ipmnet.ru/lib/?s=fluid

Math-Net.Ru — общероссийский математический портал: https://www.mathnet.ru/.

Вопросы к зачету