Групповой анализ дифференциальных уравнений

Основы группового анализа дифференциальных уравнений были заложены еще С. Ли. Известные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) допускают единообразное описание с групповой точки зрения. Общим свойством обыкновенных дифференциальных уравнений или систем, допускающих явное интегрирование, является инвариантность относительно достаточно большой группы непрерывных симметрий, преобразующих зависимые и независимые переменные (точечные преобразования). Упрощающим изучение приемом, восходящим еще к С. Ли, является замена группы преобразований на соответствующую ей алгебру Ли. После рассмотрения интегрирования ОДУ, допускающих достаточно большие алгебры Ли точечных преобразований, в курсе рассматриваются контактные преобразования обобщающие точечные. Еще более общим видом симметрий дифференциальных уравнений являются обобщенные симметрии, называемые в некоторых источниках преобразованиями Ли-Бэклунда. Рассматривается связь обобщенных симметрий уравнений Эйлера-Лагранжа с законами сохранения.

• Щепетилов Алексей Валериевич

1. Обзор истории теории групп.

2. Локальные группы преобразований.

3. Инвариантные функции и инвариантные поверхности локальных групп преобразований.

4. Дифференциальные уравнения и допускаемые ими группы преобразований.

5. Алгебры операторов, допускаемые ОДУ, и их использование для интегрирования ОДУ.

6. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли.

7. Автономные системы ОДУ и их симметрии.

8. Контактные преобразования и их связь с точечными.

9. Операторы Ли-Бэклунда.

10. Канонические операторы Ли-Бэклунда.

11. Тождество Нетер.

12. Теорема Нетер о законе сохранения уравнения Эйлера-Лагранжа.

1. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.
2. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989.
3. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991.
4. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.
5. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики, под ред. А.М. Виноградова и И.С. Красильщика, М.: Факториал Пресс, 1997, 2005.
6. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям. М. РХД. 2002.
7. Филлипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: 2000.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939, Гл. IV.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: 1971.
3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 1995.
4. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Изд-во Удмуртского государственного ун-та, Ижевск, 1995.
5. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
6. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М. Наука. 1982.

Вопросы по курсу