Основы теории категорий

• Голубцов Петр Викторович , профессор

Теория категорий представляет собой попытку математиков раскрыть фундаментальные принципы, общие для различных областей математики. Грубо говоря, категория представляет класс однотипных математических структур, скажем, групп, линейных пространств, топологических пространств и т.д. и соотношения между ними. Многие важные математические конструкции, встречающиеся в различных областях математики (например, понятия произведения групп, линейных или топологических пространств), получают в терминах теории категорий единообразное и изящное выражение. Наиболее интересные результаты теории категорий связаны с понятиями функтора ("отображения" одной категории в другую) и естественного преобразования ("трансформирующего" один функтор в другой). Так понятие сопряженного функтора изящно описывает, скажем, пополнение метрических пространств, наделение множества дискретной (или антидискретной) топологией, образование свободной группы и многие другие важные понятия соответствующих математических дисциплин.

В спецкурсе рассматриваются основные понятия и конструкции теории категорий. Изложение сопровождается примерами из теории множеств, алгебры, топологии. Вкратце рассматриваются некоторые приложения теории категорий к алгебраической теории систем, универсальным алгебрам, теории преобразователей информации.

1. Введение. Предпосылки для теоретико-категорного описания математических объектов. Обзор основных понятий теории категорий: категории, функторы, естественные преобразования.
2. Определение категории. Аксиомы теории категорий. Основные примеры.
3. Основные понятия и конструкции в категориях. Простейшие понятия. Изоморфизмы. Мономорфизмы и эпиморфизмы. Mорфизмы, обратимые слева или справа. Начальный и конечный объекты. Произведения и ко-произведения. Пределы и ко-пределы. Определение предела и ко-предела. Произведения как пределы; бесконечные произведения. Уравнители и ко-уравнители. Расслоенные произведения. Обратный образ. Теорема о существовании пределов. Системы факторизации.
4. Категории множеств, наделенных структурой.
5. Функторы. Определение и примеры. Свободные объекты. Сопряженные функторы. Примеры.
6. Естественные преобразования функторов и сопряженность. Естественные преобразования функторов. Эквивалентность категорий. Определение и эквивалентные условия сопряженности. Примеры.
7. Монады (тройки). Связь между сопряженностью и монадами. Категории Клейсли. Категории Эйленберга-Мура. Приложения к универсальным алгебрам.
8. Теории неопределенности. Категории преобразователей информации. Общие свойства. Примеры. Многозначные, нечеткие, стохастические преобразователей информации. Категории преобразователей информации как моноидальные категории Клейсли.

1. M.A. Arbib, E.G. Manes. Arrows, Structures and Functors. New York: Academic Press.
2. Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983.
3. С. Мак Лейн. Категории для работающего математика. М.: Физматлит, 2004.
4. G.V. Kondratiev. Categories. Beginning Course, 2008.
5. М.Ш. Цаленко. Основы теории категорий. М.: Наука, 1974.
6. И. Букур, А. Деляну. Введение в теорию категорий и функторов.

1. E.G. Manes. Algebraic Theories // Graduate texts in mathematics. N 26. New York, Springer.
2. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
3. С. Ленг. Алгебра.
4. К. Фейс. Алгебра. Кольца, модули и категории. Т. 1.
5. П.В. Голубцов. Информативность в категории многозначных преобразователей информации // Проблемы передачи информации. 1998. T. 34, N 3. C. 60.
6. П.В. Голубцов. Аксиоматическое описание категорий преобразователей информации // Проблемы передачи информации. 1999. Т. 35, N 3. С.109.
7. P.V. Golubtsov. Monoidal Kleisli Category as a Background for Information Transformers Theory. // Информационные процессы (Information processes). Электронный научный журнал. 2002. V. 2, N 1. P. 62.
8. A. Doering, C. Isham. "What is a Thing?": Topos Theory in the Foundations of Physics. 2008.

Описание курса

Список вопросов к зачету