РУС/ENG
Кафедра математики
физического факультета МГУ

Текущие задания для дистанционного обучения

23.03.20. Добрый день, уважаемые  студенты второго курса! Мы   Вами на лекциях полностью рассмотрели следующие разделы плана лекций: «Введение» и «Глава 1». Начали изучать главу 2, и дошли до раздела 3. «Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа», где полностью рассмотрели тему   1) «Уравнение теплопроводности» и начали тему 2) «Температурные волны».  Поскольку у нас  по объективным причинам пропала лекция 17 марта и грядет лекция 24 марта, то Вам следует изучить по слайдам следующие темы: 2) «Температурные волны», 3) «Уравнение диффузии», 4) «Температура тонкой проволоки, нагреваемой электрическим током»,   5) «Уравнение Буссинеска. Задача о наводнении»,  6) «Параболическое приближение». Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп. С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

31.03.20. Добрый день, уважаемые студенты второго курса! На предыдущем занятии мы закончили раздел 3 главы 2 «Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа», Теперь мы переходим к разделу 4 главы 2  «Стационарные процессы». Стационарные процессы описываются уравнениями эллиптического типа, в которые не входит время. Мы рассмотрим следующие темы: 1) «Стационарное распределение тепла», 2) «Задачи электростатики» и 3) «Установившиеся колебания». Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп. С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

7.04.20.  Добрый день, уважаемые студенты второго курса! Мы продолжаем изучать математические модели, описывающие стационарные процессы. Мы рассмотрим три темы  из раздела  4 главы 2:  4) «Установившиеся электромагнитные колебания», 5) «Постановка  краевой задачи» и 6) «Постановка условий на бесконечности». Условия на бесконечности – это специальные условия, которые ставятся для выделения единственного решения задачи. Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп.  С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

14.04.20.  Добрый день, уважаемые студенты второго курса! Сегодня мы рассмотрим единственную тему из раздела 4 главы 2:7) «Математическое моделирование волноведущих систем». Эта тема достаточно объемная, поэтому мы ограничиваемся рассмотрением только этой темы данного раздела. Мы познакомимся с еще одним интересным видом дополнительных условий, накладываемых на решения соответствующего уранения. Эти условия носят название «парциальные условия излучения». Они были предложены профессором кафедры математики физического факультета МГУ Алексеем Георгиевичем Свешниковым. Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп. С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

21.04.20. Добрый день, уважаемые студенты второго курса! Сегодня мы рассмотрим очередную тему из раздела 4 главы 2: 8) «Прямые и обратные  задачи электростатики», которая включает в себя три подтемы:а) «Прямые задачи электростатики», б) «Обратные задачи электростатики» и в) «Применение метода конформного преобразования в задачах электростатики». Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп. С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

28.04.20.  Добрый день, уважаемые студенты второго курса! Сегодня мы с Вами закачиваем изучения второй главы нашего курса. Нам осталось рассмотреть пятый раздел «Построение математических моделей на основе вариационных принципов», который  включает две темы:1) «Вариационное исчисление» и 2) «Вариационный принцип». В первом разделе мы вспомним основные положения вариационного исчисления, а во втором разделе сформулируем вариационный принцип, с помощью которого получим уравнение малых продольных колебаний упругого стержня. Это уравнение мы получили ранее, используя второй закон Ньютона. В данном случае мы демонстрируем мощный метод построения дифференциальных детерминированных моделей, основный на применении вариационных принципов. Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп. С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

 5.05.20. Добрый день, уважаемые студенты второго курса! Сегодня мы с Вами начинаем изучения последней третьей главы нашего курса «Методы исследования математических моделей». Глава содержит три раздела: первый раздел  «Метод конечных разностей», второй раздел  «Метод разделения переменных (метод Фурье)» и третий раздел  «Обоснование корректности постановки детерминированных математических моделей». В первом разделе  мы познакомимся с наиболее мощными численными методами исследования начально-краевых задач математической физики – методом конечных разностей и методом конечных элементов. Раздел включает пять тем, из которых сегодня мы рассмотрим три темы:  1) «Основные понятия»; 2) «Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке» и  3) «Метод прогонки». При изложении данного раздела мы будем руководствоваться идеями и, я хотел бы это особо подчеркнуть, обозначениями,   введенными в учебниках крупнейшего специалиста в области математического моделирования и метода конечных разностей академика Александра Андреевича Самарского. Академик А.А.Самарский  многие годы руководил Институтом математического моделирования РАН, был профессором кафедры математики физического факультета МГУ и профессором факультета ВМК. При изучении конечных разностей продуманная система обозначений играет  большую роль. Первая тема данного раздела содержит определения основных понятий конечно-разностного метода. Во второй теме рассматривается применение метода конечных разностей к простой начально - краевой задаче на отрезке. Третья тема содержит описание эффективного метода решения конечно-разностных уравнений – метода прогонки. Подавляющее число детерминированных  математических моделей сводится к начально-краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. После применения к ним конечно-разностного метода они сводятся к разностным уравнениям второго порядка, то есть к системе алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки и создан для эффективного решения таких систем уравнений, то есть это метод эффективного обращения трехдиагональных матриц. Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп. С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

12.05.20. Добрый день, уважаемые студенты второго курса! Сегодня мы с Вами продолжаем изучение первого раздела последней третьей главы нашего курса «Методы исследования математических моделей». На предыдущем занятии  мы уже рассмотрели три темы данного раздела:  1) «Основные понятия»; 2) «Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке» и  3) «Метод прогонки». Сегодня мы рассмотрим очень важную тему:   4) «Консервативные однородные разностные схемы», которая включает в себя две подтемы:  а) «Интегро-интерполяционный метод (ИПМ) - метод баланса построения консервативных разностных схем» и   б) «Метод конечных элементов (МКЭ) - проекционно - сеточный метод».  Понятие консервативности является одной из основных характеристик разностных схем. Если схема не является консервативной, то есть на ней не выполняются законы сохранения, то такой схемой пользоваться нельзя.  Естественно, возникает вопрос: есть ли методы, позволяющие гарантировано строить консервативные разностные схемы? Такие методы, разумеется, есть, и мы с Вами рассмотри два из них: интегро-интерполяционный метод и метод конечных элементов. Знание этих методов совершенно необходимо для того, чтобы квалифицированно применять метод конечных разностей в Ваше практической деятельности. Вопросы по содержанию лекций Вы можете задавать мне через своих старост групп. С глубоким уважением. А.Н.Боголюбов

 

 

19.05.20. Добрый день, уважаемые студенты второго курса! Сегодня мы с Вами завершаем изучение нашего курса «Введение в математическое моделирование». Нам осталось рассмотреть последнюю пятую тему   первого раздела последней третьей главы нашего курса «Методы исследования математических моделей». Мы изучим тему:   5) «Экономичные разностные схемы», которая состоит из двух подтем:  а) «Схема переменных направлений» и  б) «Локально-одномерная схема (ЛОС). Понятие суммарной аппроксимации». Кроме того, мы изучим два раздела третьей главы: 2. «Метод разделения переменных (метод Фурье)» и3. «Обоснование корректности постановки детерминированных математических моделей». Этот третий раздел состоит из трех тем:  1) «Единственность решения», 2) «Существование решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний на отрезке»  и   3) «Устойчивость решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний».

   Тема «Экономичные разностные схемы» посвящена применению метода конечных разностей для решения многомерных начально-краевых  задач. Основная идея при этом состоит в том, чтобы свести двумерную или трехмерную (и вообще многомерную) задачу к цепочке одномерных задач. Причем эти задачи являются одномерными конечно-разностными задачами, то есть системами алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Мы уже знаем, что для экономичного обращения этих матриц , то есть решения таких систем, существует метод прогонки. В подтеме а) «Схема переменных направлений» рассматривается экономичная схема, построенная в 1955 году Писменом и Рэкфордом, и которая до сих пор служит нам (с различными дополнениями и вариантами) верой и правдой. Но, к сожалению, эта замечательная схема не может быть непосредственно обобщена на многомерный случай, так  как при этом она становится неустойчивой. Один из эффективных способов построения экономичных разностных схем в случае трех и более измерений, основанный  на понятии суммарной аппроксимации, был предложен А.А.Самарским. Этому посвящена подтема б) «Локально-одномерная схема (ЛОС). Понятие суммарной аппроксимации».

   Раздел 2. «Метод разделения переменных (метод Фурье)» третьей главы  содержит  изложение замечательного аналитического метода – метода разделения переменных, предложенного в двадцатых годах XIX века Ж.Фурье для решения начально-краевых задач. До сих пор этот метод занимает почетное место в арсенале аналитических методов математической физики и математического моделирования.

   И, наконец, мы заканчиваем наш курс разделом: 3. «Обоснование корректности постановки детерминированных математических моделей», в котором для простейшей начально-краевой задачи для уравнения колебаний на отрезке докажем три основные теоремы: а) теорему единственности решения; б) теорему существования решения и в) теорему устойчивости решения, тем самым полностью обоснуем  корректность постановки этой начально-краевой задачи.

  Уважаемые студенты! Теперь Ваша задача – успешно сдать зачет с оценкой. Как я уже писал старостам Ваших групп, для этого Вам необходимо прислать на мой адрес bogan7@yandex.ru  или на адрес Боголюбова Николая Александровича russel67@yandex.ru Ваши рефераты, содержащие ответ на один из вопросов из списка вопросов, который я послал старостам Ваших групп.  Вполне достаточно,  если объем такого реферата будет составлять 3 – 5 страниц. Я настоятельно советую Вам не затягивать эту работу и прислать рефераты до 31 мая. Если у Вас возникнут вопросы – пишите мне или  Николаю Александровичу Боголюбову. Желаю Вам успеха и здоровья. Ждем Ваши рефераты. С уважением. Боголюбов Александр Николаевич.